题意已经很清楚了，就是问我们有多少种合法的握手方式，使得每个小朋友都能和两个人握手。

我们发现 $n \le 8$，所以我们考虑轮廓线 DP（不会的请翻到最后），每一位上 $1$ 代表和右边的人握手，否则就不握。然后就可以做了。

我们发现 $m \le 2^{31}-1$，但是 $k \le 100$，所以我们可以猜测对于每两个有老师的列的中间那些没有老师的列，我们可以快速解决，考虑矩阵优化 DP。我们发现对于没有老师的列之间转移是平凡的，所以我们可以预处理出从 $i$ 转移到 $j$ 的矩阵，然后就可以做了。

所以整道题的思路就是先预处理出每一个状态 $i$ 转移到另一个状态 $j$ 的矩阵。然后对于有老师的一列做轮廓线 DP，对于两个老师之间的空列就直接矩阵快速幂就可以了。

时间复杂度 $O((k+2^n)n2^n + 2^{3n} \log l)$，其中 $l$ 为所有连续空列的长度之积。因为 $n \le 8, k \le 100, m \le 2^{31}-1$。又因为常数比较大，所以可能超时，考虑因为每次做矩阵快速幂的时候会重复算多次转移矩阵的 $k$ 次方，故我们可以通过预处理将其存下来，时间复杂度就优化成 $O((k+2^n)n2^n + 2^{2n}\log l + 2^{3n} \log m)$。可以通过此题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
#define intl long long
#define mod (1000000007)
#define For(i,a,b) for(intl i=a;i<=b;i++)
#define deo(i,a,b) for(intl i=a;i>=b;i--)
intl read() {
	intl x=0,k=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') k=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*k;
}
intl n, m, k; 
map<intl,vector<intl>> pos;
void get(auto &res, intl s) {
	vector<vector<intl>> dp(1ll<<n, vector<intl>(2,0));
	For(i,0,(1ll<<n)-1) dp[i][0] = res[i];
	For(i,0,n-1) {
		intl flg = (s>>i)&1;
		vector<vector<intl>> tmp(1ll<<n, vector<intl>(2,0));
		For(j,0,(1ll<<n)-1) For(v,0,1) if(dp[j][v]) {
			intl l = (j>>i)&1;
			For(r,0,1) For(vt,0,1) if(!(i == n-1 && vt)){
				if(flg) {
					if(l + r + v + vt == 0) (tmp[j][vt] += dp[j][v]) %= mod;
				} else {
					if(l + r + v + vt == 2) (tmp[(j&(~(l<<i))|(r<<i))][vt] += dp[j][v]) %= mod;
				}
			}
		}
		dp = tmp;
	}
	For(i,0,(1ll<<n)-1) res[i] = dp[i][0];
}
struct Mat{
	intl a[256][256];
	Mat operator * (const Mat&b) const {
		Mat res;memset(res.a,0,sizeof res.a);
		For(k,0,(1ll<<n)-1) For(i,0,(1ll<<n)-1) if(a[i][k]) For(j,0,(1ll<<n)-1) if(b.a[k][j]) 
			(res.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j]) %= mod;
		return res;
	}
	vector<intl> operator + (const vector<intl>&b) const {
		vector<intl> res((1ll<<n),0);
		For(i,0,(1ll<<n)-1) For(j,0,(1ll<<n)-1) (res[i] += a[i][j]*b[j]) %= mod;
		return res;
	}
}mat[32]; 
void Fpowv(intl b,auto &res) {
	intl cnt = 0;
	for(;b;b>>=1,cnt ++) if(b&1) res = mat[cnt] + res; 
}
int main() {
	n = read(), m = read(), k = read();
	vector<intl> dp(1ll<<n);
	For(i,1,k) {
		intl x = read()-1, y = read();
		pos[y].push_back(x);		
	}
	For(i,0,(1ll<<n)-1) {
		vector<intl> init(1ll<<n,0);
		init[i] = 1;
		get(init,0);
		For(j,0,(1ll<<n)-1) mat[0].a[j][i] = init[j];
	}
	For(i,1,31) mat[i] = mat[i-1]*mat[i-1];
	intl las = 1;dp[0] = 1; 
	for(auto [c,vec]:pos) {
		if(c > las) Fpowv(c-las,dp);
		intl mask = 0;
		for(auto x:vec) mask |= (1ll<<x);
		get(dp, mask);
		las = c + 1;
	}
	if(las <= m) Fpowv(m-las+1, dp); 
	printf("%lld\n", dp[0]);
	return 0;
}

轮廓线DP