废话时间

这题思维上可能算不上紫，但是考虑到 模板 exCRT 也是紫，所以评紫应该是没问题。

正文

首先让我们来观察一下本题，第 $i$ 轮报数的时候，不难发现当圈中还剩下 $n-i+1$ 个人，我们记 $N_i=n-i+1$。如果第 $i$ 个人报了 $s$，那么这个人报的数就一定是 $s+t\times N_i$，其中 $t$ 是整数。

那对于第 $i$ 轮出局的人 $t_i$，我们记这个人报了 $s_{t_i}$，那么必有 $K\equiv s_{t_i} \pmod {N_i}$。

显然对于每一轮都能产生一个同余方程，那么我们就能获得一个方程个数为 $n$ 的同余方程组：

$$\left\{ \begin{array}{l} K \equiv s_{t_1} \pmod{N_1} \\ K \equiv s_{t_2} \pmod{N_2} \\ \ \ \vdots \\ K \equiv s_{t_n} \pmod{N_n} \end{array} \right.$$

而这个方程组显然可以用 exCRT 求解，方程组无解则是问题无解。

接下来我们考虑如何求出 $s_{t_i}$。其实这个就相当于当前圈起点到当前点的距离，而根据规则，当前圈的起点应该是上一圈淘汰者的后一个位置，也就是说，我们可以求出 $t_{i-1}$ 到 $t_i$ 的距离。特别的，我们规定 $t_0=0$。

代码

注释版。应该可以看懂。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,a[25],order[25],ok=1,cir[25],cnt,st,eqcnt;
pair<int,int> eq[25];
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int g=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return g;
}
// 核心：模拟一轮出圈，返回余数r，同时更新圈内数组cir、人数cnt、起始下标st
int get_r(int &cnt,int &st,int target){
    // 找到target在圈内的下标pos
    int pos;
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        if(cir[i]==target){
            pos=i;
            break;
        }
    }
    int m=cnt;
    // 计算从st开始逆时针走到pos的步数（不包含st，包含pos）
    int dist=(pos>=st?pos-st:pos+m-st);
    // 报数从1开始，所以走到target需报数dist+1
    int r=(dist+1)%m;
    if(r==0)r=m; // 余0表示报数是m的倍数，取最小正整数m
    // 删除pos位置的人，后面元素前移
    for(int i=pos;i<cnt-1;i++)
        cir[i]=cir[i+1];
    cnt--;
    // 下一轮开始报数的人是出局者左边的人
    if(pos==cnt)st=0;
    else st=pos;
    return r;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    // a[i]：编号i的小朋友第几个出圈
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i],order[a[i]]=i;
    // 初始圈内排列1..n，cnt为当前人数，st为起始报数下标
    cnt=n,st=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cir[i]=i+1;
    // 模拟n轮出圈，记录同余方程(r, m)
    for(int t=1;t<=n;t++){
        int oldm=cnt;                     // 当前人数即模数
        int r=get_r(cnt,st,order[t]);    // order[t]是第t个出圈者的编号
        eq[eqcnt++]={r,oldm};            // 方程K ≡ r (mod oldm)
    }
    // exCRT合并所有方程
    int ans=0,mod=1;
    for(int i=0;i<eqcnt;i++){
        int a=eq[i].first,m=eq[i].second;
        int x,y,g=exgcd(mod,m,x,y);
        if((a-ans)%g){
            ok=0;
            break;
        }       // 无解
        int l=mod/g*m;                    // 新模数
        int t=m/g;
        x=(x*(a-ans)/g%t+t)%t;           // 求最小非负x
        ans=(ans+mod*x)%l;               // 合并解
        mod=l;
    }
    if(!ok){
        cout<<"NIE"<<'\n';
        return 0;
    }
    if(ans==0)ans=mod;              // 保证最小正整数解
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

Update：更正代码，修复几个锅。

知道每个人是第几个出圈的作用不大，不如转化为出圈序列。

不难发现，假如当前圈内剩余人数为 $L$，某个人第一次报的数为 $a$，这个人的所有报数均形如 $a+xL$。那么某个人出圈等价于 $a+xL=k$，即 $k\equiv a\pmod L$。

不难发现 $a$ 就是上一个出圈的人到他的距离，暴力找即可。

问题等价于解同余方程组 $\begin{cases}k\equiv a_1\pmod n\\k\equiv a_2\pmod {n-1}\\ \ldots\\k\equiv 0\pmod 1\end{cases}$。

直接 excrt 即可，无解即某次合并时无解。

需要注意的是最后可能会合并出 $k\equiv 0\pmod x$，但显然 $k\ge 1$，因此此时答案为模数 $x$。

#include<cstdio>
int cq[31];
int n,ys[31],ms[31];
bool td[31];
long long gcd(long long x,long long y){
	return x%y==0?y:gcd(y,x%y);
}
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
	if(!b){
		x=1;y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	long long z=x;
	x=y;
	y=z-a/b*y;
}
int main(){
	int i;
	scanf("%d",&n);
	int p=0,x;
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x);
		cq[x]=i;
	}//cq 存储出圈序列 
	for(i=1;i<=n;i++){
		int ds=0;
		x=cq[i];
		while(p!=x){
			p++;if(p>n)p=1;
			if(!td[p])ds++;
		}
		ms[i]=n-i+1;
		ys[i]=ds%ms[i];
		td[x]=1;
	}
	long long res=ys[1],mod=ms[1];//excrt 流程
	for(i=2;i<=n;i++){
		long long a=mod,b=ms[i],t=((ys[i]-res)%b+b)%b;
		long long x,y,r=gcd(a,b);
		if(t%r)return printf("NIE"),0;
		a/=r;b/=r;t/=r;
		exgcd(a,b,x,y);
		x=x%ms[i]*t%ms[i];
		res+=x*mod;
		mod*=b;
		res=(res+mod)%mod;
	}
	if(!res)res+=mod;
	printf("%lld",res);
}