#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=1e5+10;
int n;
ll a[mxn];
struct N{
	ll y,v;
};
vector<N> e[mxn];
int del[mxn];
int mn,sum,rt,sz[mxn];
void getrt(int x,int xfa){
	sz[x]=1;
	int mx=0;
	for(N i:e[x])if(i.y!=xfa&&!del[i.y]){
		int y=i.y;
		getrt(y,x);
		sz[x]+=sz[y];
		mx=max(mx,sz[y]);
	}
	mx=max(mx,sum-sz[x]);
	if(mx<mn){
		mn=mx;
		rt=x;
	}
}
int cnt,ccnt;
int vis[mxn];
ll dis[mxn],p[mxn],dis2[mxn],nd[mxn],id[mxn];
void getdis(int x,int xfa,ll now){
	p[++cnt]=x;
	id[x]=ccnt;
	for(N i:e[x])if(!del[i.y]&&i.y!=xfa){
		int y=i.y;
		dis[y]=max(dis[x],-now+i.v-a[x]);
		dis2[y]=dis2[x]-i.v+a[y];
		nd[y]=nd[x]+i.v-a[y];
		if(nd[y]<0)nd[y]=0;
		getdis(y,x,now-i.v+a[x]);
	}
}
ll ans;
bool cmp(int x,int y){
	return dis[x]<dis[y];
}
bool cmp2(int x,int y){
	return dis2[x]<dis2[y];
}
void calc(int x){
	del[x]=1;
	cnt=0;ccnt=0;
	for(N i:e[x])if(!del[i.y]){
		int y=i.y;
		dis[y]=max(0ll,-a[x]+i.v);
		dis2[y]=-i.v+a[y];
		nd[y]=i.v-a[y];
		if(nd[y]<0)nd[y]=0;
		ccnt++;
		getdis(y,x,a[x]-i.v);
	}
	vector<int> v1,v2;
	dis[0]=dis2[0]=0;
	v1.push_back(0);
	v2.push_back(0);
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int u=p[i];
		v1.push_back(u);
		if(!nd[u])v2.push_back(u);
	}
	sort(v1.begin(),v1.end(),cmp);
	sort(v2.begin(),v2.end(),cmp2);
	int i=-1;
	for(int j=0;j<v2.size();j++){
		while(i+1<v1.size()&&dis[v1[i+1]]<=dis2[v2[j]]){
			i++;
			vis[id[v1[i]]]++;
		}
		ans+=i+1-vis[id[v2[j]]];
	}
	for(int i=0;i<=ccnt;i++)vis[i]=0;
}
void divide(int x){
	calc(x);
	for(N i:e[x])if(!del[i.y]){
		int y=i.y;
		mn=sum=sz[y];
		getrt(y,0);
		divide(rt);
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1,x,y,v;i<n;i++){
		cin>>x>>y>>v;
		e[x].push_back({y,v});
		e[y].push_back({x,v});
	}
	mn=sum=n;
	getrt(1,0);
	getrt(rt,0);
	divide(rt);
	cout<<ans;
	return 0;
}

这是一篇点分治 + 双指针的题解。

计算路径

设点分治中，当前找到的根为 $rt$，$w_i$ 表示从 $rt$ 到 $i$ 的点权和，$d_i$ 则表示从 $rt$ 到 $i$ 的边权和。

分两种情况考虑合法性：

• 从 $i$ 走到 $rt$：显然需要对于任意在 $i$ 到 $rt$ 路径上的节点 $j$，满足 $w_i-w_j \ge d_i - d_j$。稍加变换得：$w_i-d_i-(w_j-d_j)\ge 0$。此时只需要维护、记录最大的 $w_j-d_j$ 即可判断从 $i$ 到 $rt$ 的合法性。

• 从 $rt$ 走到 $i$：这种情况，路径的起点不一定是 $rt$，可以从其他子树中的一个节点 $k\rightarrow rt \rightarrow i$。设 $k\rightarrow rt$ 后还剩下的油量为 $x$（直接从 $rt$ 出发那么 $x$ 为 $0$），则 $rt\rightarrow i$ 路径上任意一点 $j$，需要满足 $x+w_{fa_j} \ge d_j$。依旧是稍加变换：$x+(w_{fa_j}-d_j) \ge 0$，维护、记录路径上最小的 $w_{fa_j}-d_j$ 即可。

统计答案

遍历所有子树，把所有路径都记录下来。

从 $i$ 到 $rt$ 记录 $w_i-d_i$，表示到 $rt$ 后的剩余油量。

从 $rt$ 到 $i$ 记录 $w_{fa_j}-d_j$ 的最小值。

分别将两种情况按记录的权值排序，用 $rt\rightarrow i$ 匹配 $k\rightarrow i$（反过来也可以）。

此时对于所有 $w_k-d_k + w_{fa_j}-d_j \ge 0$ 的 $k$ 都可以，双指针扫描统计即可。

注意要将 $k$ 和 $i$ 在同一子树内的情况提前减去。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 100005;
int rd(){
	int x = 0;char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9')ch = getchar();
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
	return x;
}
ll s1[N],s2[N],q1[N],q2[N],w[N],d[N],ans;
int tot,head[N],ver[2*N],edge[2*N],Next[2*N];
int n,a[N],rt,sum,s[N],Mas[N],vis[N],t1,t2,h1,h2;
void add(int x,int y,int z){
	tot++;
	ver[tot] = y;
	edge[tot] = z;
	Next[tot] = head[x];
	head[x] = tot;
}
void Grt(int fa,int x){
	s[x] = 1,Mas[x] = 0;
	for(int i = head[x];i;i = Next[i]){
		int y = ver[i];
		if(y == fa || vis[y])continue;
		Grt(x,y);
		s[x] += s[y];
		Mas[x] = max(Mas[x],s[y]);
	}
	Mas[x] = max(Mas[x],sum - s[x]);
	if(!rt || Mas[x] < Mas[rt])rt = x;
}
void dfs(int fa,int x,ll Max,ll Min){//Max 最大 w[j] - d[j]；Min 最小 w[fa[j]]-d[j]
	if(w[x] - d[x] >= Max)//合法才记录
		s1[++t1] = w[x] - d[x];//i到rt
	s2[++t2] = Min;//rt到i，目前不能确定是否合法，都记录
	for(int i = head[x];i;i = Next[i]){
		int y = ver[i],z = edge[i];
		if(y == fa || vis[y])continue;
		d[y] = d[x] + z,w[y] = w[x] + a[y];
		dfs(x,y,max(Max,w[x] - d[x]),min(Min,w[x] - d[y]));//注意更新 Max 和 Min
	}
}
void calc(int x){
	int L;
	h1 = 0,h2 = 0;
	d[x] = 0,w[x] = a[x];
	for(int i = head[x];i;i = Next[i]){
		int y = ver[i],z = edge[i];
		if(vis[y])continue;
		t1 = 0,t2 = 0;
		d[y] = z,w[y] = w[x] + a[y];//初始化d[y]和w[y]
		dfs(x,y,w[x] - d[x],w[x] - d[y]);
		sort(s1 + 1,s1 + 1 + t1);//s1、s2记录当前子树内的路径
		sort(s2 + 1,s2 + 1 + t2);
		L = 1;
		for(int i = t2;i >= 1;i--){//注意倒序枚举
			while(L <= t1 && s1[L] + s2[i] - a[x] < 0)L++;
			ans -= t1 - L + 1;//减去同一子树内的答案
		}
		for(int i = 1;i <= t1;i++)
			q1[++h1] = s1[i];
		for(int i = 1;i <= t2;i++)
			q2[++h2] = s2[i];//q1和q2记录所有路径
	}
	sort(q1 + 1,q1 + 1 + h1);
	sort(q2 + 1,q2 + 1 + h2);
	L = 1;
	for(int i = h2;i >= 1;i--){
		if(q2[i] >= 0)//rt到i直接从rt出发
			ans++;
		while(L <= h1 && q1[L] + q2[i] - a[x] < 0)L++;//i到rt，rt到i都加了a[x]，减掉一次
		ans += h1 - L + 1;
	}
	ans += h1;//i出发到rt结束的情况
}
void solve(int x){
	vis[x] = 1,calc(x);
	for(int i = head[x];i;i = Next[i]){
		int y = ver[i],z = edge[i];
		if(vis[y])continue;
		rt = 0,sum = s[y];
		Grt(x,y),solve(rt);
	}
}
int main(){
	n = rd();
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		a[i] = rd();
	for(int i = 1;i < n;i++){
		int x = rd(),y = rd(),z = rd();
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	rt = 0,sum = n;
	Grt(0,1),solve(rt);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}