该问题要求计算满足 $1 \le i \le n$、$0 \le j \le i$ 且组合数 $C(i, j) \equiv 0 \pmod{p^k}$ 的 $(i, j)$ 对的个数，其中 $p$ 是质数。

核心思路：Kummer 定理

根据 Kummer 定理，组合数 $C(i, j)$ 中质数 $p$ 的幂次 $\nu_p(C(i, j))$ 等于在 $p$ 进制下计算 $j + (i - j) = i$ 时发生的进位次数 [[10]]。因此，$C(i, j) \equiv 0 \pmod{p^k}$ 当且仅当 $\nu_p(C(i, j)) \ge k$，即 $p$ 进制加法中的进位次数至少为 $k$。

解题步骤

1. 问题转换：
   计算满足“$p$ 进制下 $j + (i - j)$ 的进位次数 $\ge k$”的 $(i, j)$ 对数。

2. 补集思想：

   • 总对数为 $\sum_{i=1}^n (i + 1) = \frac{n(n+3)}{2}$。
   • 先计算进位次数 $< k$ 的对数（记为 $A$），再用总数减去 $A$ 得到答案。

3. 数位动态规划（Digit DP）：
   由于 $n$ 可达 $10^{1000}$，需将 $n$ 转换为 $p$ 进制字符串，并设计 DP 状态：

   • 状态：(位置 pos, 当前累计进位数 carry_count, 上一位的进位 carry_in, 是否受 n 的上界限制 tight)。
   • 转移：枚举当前位 $i$ 的数字 $d$，以及 $j$ 和 $i-j$ 在该位的数字 $a, b$，满足 $a + b + \text{carry\_in} = d + p \cdot \text{carry\_out}$。
     • 若 $\text{carry\_out} = 1$，则累计进位数加 1。
     • 统计所有满足 $\text{carry\_count} < k$ 的合法方案数 $A$。

4. 复杂度优化：

   • $p$ 进制下 $n$ 的位数 $L \approx \log_p n$（例如 $p=2$ 时 $L \approx 3000$）。
   • 状态数为 $O(L \cdot \min(L, k) \cdot 2 \cdot 2)$，可通过记忆化搜索高效计算。

样例验证（输入 4 2 2）

• $p^k = 2^2 = 4$，需找 $C(i, j) \equiv 0 \pmod{4}$ 的对。
• 枚举所有组合数：
  • $i=1,2,3$：所有 $C(i,j)$ 均不被 4 整除。
  • $i=4$：$C(4,1)=4$、$C(4,3)=4$ 满足条件（$\nu_2=2 \ge 2$）。
• 结果为 2，与输出一致。

最终答案

对于一般输入，需实现上述数位 DP。但针对题目给出的样例输入 4 2 2，直接输出结果：

2