题意

有 $m$ 条竖线，每条线上有 $n$ 个高度。从 $(1,1)$ 出发，每次遇到横线时都选择经过它，并且不存在两条端点重合的横线，一条横线的两端点必须在同一高度，一条横线连接的需要是相邻的两条竖线。求从 $(1,1)$ 到 $(h,k)$ 的图的方案数。

思路

考虑 $dp$，我们可以用 $dp_{i,j}$ 表示从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的方案数。

在此之前，我们需要先求一个东西，我们定义 $f_{i,0}$ 为放到第 $i$ 个位置不放边的方案数，定义 $f_{i,1}$ 为放到第 $i$ 个位置放边的方案数。不难想到：

$$f_{i,0} \gets f_{i-1,0}+f_{i-1,1}$$ $$f_{i,1} \gets f_{i-1,0}$$

不难看出，$(i,j)$ 可以由 $(i-1,j)$，$(i-1,j-1)$ 和 $(i-1,j+1)$ 到达，即一个点上面三个点。

首先，假如是要直接由上面的点移下来，就需要要求上面那个点左边和右边都没有边，所以可以推出：

$$dp_{i,j} \gets dp_{i-1,j} \times f_{j-1,0} \times f_{m-j,0}$$

接下来，如果是由左上的点推出，就需要要求上面那个点左边有边，而右边都没有边，所以可以推出：

$$dp_{i,j} \gets dp_{i-1,j-1} \times f_{j-1,1} \times f_{m-j,0}$$

从右上的点推出的也同理。

$$dp_{i,j} \gets dp_{i-1,j+1} \times f_{j-1,0} \times f_{m-j,1}$$

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,m,k;
int f[105][2],dp[105][105];
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		f[i][0]=(f[i-1][0]+f[i-1][1])%mod;
		f[i][1]=f[i-1][0];
	}
	dp[0][1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			dp[i][j]=(dp[i][j]+((dp[i-1][j]*((f[j-1][0]*f[m-j][0])%mod)%mod)%mod))%mod;
			dp[i][j]=(dp[i][j]+((dp[i-1][j-1]*((f[j-1][1]*f[m-j][0])%mod)%mod)%mod))%mod;
			dp[i][j]=(dp[i][j]+((dp[i-1][j+1]*((f[j-1][0]*f[m-j][1])%mod)%mod)%mod))%mod;
		}
	printf("%lld\n",dp[n][k]);
	return 0;
}