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一、 单项选择题（共 15 题，每题 2分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

1. [2 分]在 Linux 系统终端中，以下哪个命令用于创建一个新的目录？（ {{ select(1) }} ）

• newdir
• mkdir
• create
• mkfold

2. [2 分]0,1,2,3,4中选取4个数字，能组成( )个不同四位数。(注：最小的四位数是1000最大的四位数是9999）（ {{ select(2) }} ）

• 96
• 18
• 120
• 84

3. [2 分]假设 $n$ 是图的顶点的个数， $m$ 是图的边的个数，为求解某一问题有下面四种不同时间复杂度的算法。对于$m=θ(n)$ 的稀疏图而言，下面的四个选项，哪一项的渐近时间复杂度最小（ {{ select(3) }} ）

• $O(m \sqrt{\log{n}} · \log{log{n}})$
• $O(n^2+m)$
• $O( \frac{n^2}{\log{m}} + m \log{n} )$
• $O(m+n \log{n})$

4. [2 分]假设有 $n$ 根柱子，需要按照以下规则依次放置编号为$1、2、3、 ...$ 的圆环：每根柱子的底 部固定，顶部可以放入圆环；每次从柱子顶部放入圆环时，需要保证任何两个相邻圆环的编号之和是一个完全平方数。请计算当有4根柱子时，最多可以放置( )个圆环（ {{ select(4) }} ）

• 7
• 9
• 11
• 5

5. [2 分]以下对数据结构的表述不恰当的一项是：（ {{ select(5) }} ）

• 队列是一种先进先出 (FIFO) 的线性结构
• 哈夫曼树的构造过程主要是为了实现图的深度优先搜索
• 散列表是一种通过散列函数将关键字映射到存储位置的数据结构
• 二叉树是一种每个结点最多有两个子结点的树结构

6. [2 分]以下连通无向图中，（）一定可以用不超过两种颜色进行染色（ {{ select(6) }} ）

• 完全三叉树
• 平面图
• 边双连通图
• 欧拉图

7. [2 分]最长公共子序列长度常常用来衡量两个序列的相似度。其定义如下：给定两个序列 $X=x_1,x_2,x_3, \dots ,x_m$ 和 $Y=y_1,y_2,y_3, \dots ,y_n$ ，最长公共子序列（LCS）问题的目标是找到一个最长的新序列 $Z=z_1,z_2,z_3, \dots ,z_k$ , 使得序列 Z 既是序列 X 的子序列，又是序列 Y 的子序列，且序列 Z 的长度 k 在满足上述条件的序列里是最大的。 （注：序列 A 是序列 B 的子序列，当且仅当在保持序列 B 元素顺序的情况下，从序列 B 中删除若干个元素，可以使得剩余的元素构成序列 A。）则序列 ABCAAAABA 和 ABABCBABA 的最长公共子序列长度为（）（ {{ select(7) }} ）

• 4
• 5
• 6
• 7

8. [2 分]一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子的游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下：玩家第一次掷出 x 点，得到 2x 元；第二次掷出 y 点，当 y=x 时玩家会失去之前得到的 2x 元而当 y≠x 时玩家能保住第一次获得的 2x 元。上述 x,y∈1,2,3,4,5,6。 例如：玩家第 一次掷出 3 点得到 6 元后，但第二次再次掷出 3 点，会失去之前得到的 6 元，玩家最终收益为 0 元；如果玩家第一次掷出 3 点、第二次掷出 4 点，则最终收益是 6 元。假设骰子掷出任意一点的概率均为 $\frac16$,玩家连续掷两次般子后，所有可能情形下收益的平均值是多少？（ {{ select(8) }} ）

• 7 元
• $\frac{35}6$元
• $\frac{16}3$元
• $\frac{19}3$元

9. [2 分]假设我们有以下的 C++ 代码：

int a = 5, b = 3, c = 4;
bool res = a & b || c ^ b && a | c; 

请问，res 的值是什么？（） 提示：在 C++ 中，逻辑运算的优先级从高到低依次为：逻辑非（!）、逻辑与（&&）、逻辑或（||）。位运算的优先级从高到低依次为：位非（~）、位与（&）、位异或（^）、位或（|）。同时，双目位运算的优先级高于双目逻辑运算；逻辑非与位非优先级相同，且高于所有双目运算符。（ {{ select(9) }} ）

• true
• false
• 1
• 0

10. [2 分]假设快速排序算法的输入是一个长度为n 的已排序数组，且该快速排序算法在分治过程总是选择第一个元素作为基准元素。以下哪个选项描述的是在这种情况下的快速排序行为?（ {{ select(10) }} ）

• 快速排序对于此类输入的表现最好，因为数组已经排序。
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 $Θ(n \log{n})$。
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 $Θ(n^2)$。
• 快速排序无法对此类数组进行排序，因为数组已经排序。

11. [2 分]以下哪个命令，能将一个名为 main.cpp 的 C++ 源文件，编译并生成一个名为 main 的可执行文件？（）（ {{ select(11) }} ）

• g++ -o main main.cpp
• g++ -o main.cpp main
• g++ main -o main.cpp
• g++ main.cpp -o main.cpp

12. [2 分]在图论中，树的重心是树上的一个结点，以该结点为根时，使得其所有的子树中结点数最多的子树的结点数最少。一棵树可能有多个重心。请问下面哪种树一定只有一个重心？（ {{ select(12) }} ）

• 4 个结点的树
• 6 个结点的树
• 7 个结点的树
• 8 个结点的树

13. [2 分]如图是一张包含 6 个顶点的有向图，但顶点间不存在拓扑序。如果要删除其中一条边，使这 6 个顶点能进行拓扑排序，请问总共有多少条边可以作为候选的被删除边？（）（ {{ select(13) }} ）

• 1
• 2
• 3
• 4

14. [2 分]若 $n=\sum\limits_{i=0}^{k} 16^i x_i$ ，定义 $f(n)=\sum\limits_{i=0}^k x_i$ ，其中 $x _i \in \{0,1,⋯,15\}$。对于给定自然数 $n_0$ ，存在序列 $n_0,n_1,n_2,⋯,n_m$ ，其中对于 $1 \le i \le m$ 都有 $n _i=f(n_{i−1})$，且 $n_m=n_{m−1}$ ，称 $n_m$ 为 $n_0$ 关于 f 的不动点。问在 $100_{16}$ 到 $1A0_{16}$ 中，关于 f 的不动点为 9 的自然数个数为（ {{ select(14) }} ）。

• 10
• 11
• 12
• 13

15. [2 分]现在用如下代码来计算 $x^n$ ，

double quick_power(double x, unsigned n) {
    if (n == 0) return 1;
    if (n == 1) return x;
    return quick_power(x, n / 2)
        * quick_power(x, n / 2)
        * ((n & 1) ? x : 1);
}

其时间复杂度为（ {{ select(15) }} ）。

• $O(n)$
• $O(1)$
• $O( \log{n})$
• $O(n \log{n})$

---

二、 阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填√，错误填 ×；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

（1）

#include < iostream >
using namespace std;

unsigned short f(unsigned short x) {
    x ^= x << 6;
    x ^= x >> 8;
    return x;
}
int main() {
    unsigned short x;
    cin >> x;
    unsigned short y = f(x);
    cout << y << endl;
    return 0;
}

假设输入的 x 是不超过 65535 的自然数，完成下面的判断题和单选题:

判断题

16. [1.5 分]当输入非零时，输出一定不为零。（）（ {{ select(16) }} ）

• 正确
• 错误

17. [2 分]将 f 函数的输入参数的类型改为 unsigned int，程序的输出不变。（）（ {{ select(17) }} ）

• 正确
• 错误

18. [1.5 分]当输入为 65535 时，输出为 63。（）（ {{ select(18) }} ）

• 正确
• 错误

19. [1.5 分]当输入为 1 时，输出为 64。（）（ {{ select(19) }} ）

• 正确
• 错误

单选题

20. [3 分]当输入为 512 时，输出为（）。（ {{ select(20) }} ）

• 33280
• 33410
• 33106
• 33346

21. [3 分]当输入为 64 时，执行完第 5 行后 x 的值为（）。（ {{ select(21) }} ）

• 8256
• 4130
• 4128
• 4160

---

（2）

#include < iostream >
#include < cmath >
#include < vector >
#include < algorithm >
using namespace std;

long long solve1(int n) {
    vector< bool> p(n + 1, true);
    vector< long long> f(n + 1, 0), g(n + 1, 0);
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (p[i]) {
            vector< int> d;
            for (int k = i; k <= n; k *= i)
                d.push_back(k);
            reverse(d.begin(), d.end());
            for (int k : d) {
                for (int j = k; j <= n; j += k) {
                    if (p[j]) {
                        p[j] = false;
                        f[j] = i;
                        g[j] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }
    for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
        if (p[i]) {
            f[i] = i;
            g[i] = i;
        }
    }
    long long sum = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        f[i] = f[i / g[i]] * (g[i] * f[i] - 1) / (f[i] - 1);
        sum += f[i];
    }
    return sum;
}

long long solve2(int n) {
    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i * (n / i);
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << solve1(n) << endl;
    cout << solve2(n) << endl;
    return 0;
}

假设输入的 n 是不超过 1000000 的自然数，完成下面的判断题和单选题:

判断题

22. [1.5 分]将第 15 行删去，输出不变。（）（ {{ select(22) }} ）

• 正确
• 错误

23. [1.5 分]当输入为 10 时，输出的第一行大于第二行。（）（ {{ select(23) }} ）

• 正确
• 错误

24. [2 分]当输入为 1000 时，输出的第一行与第二行相等。（）（ {{ select(24) }} ）

• 正确
• 错误

单选题

25. [3 分]solve1(n) 的时间复杂度为（）。（ {{ select(25) }} ）

• $(n\log^2{n})$
• $O(n)$
• $O(n\log{n})$
• $O(n \log{\log{n}})$

26. [3 分]solve2(n) 的时间复杂度为（）。（ {{ select(26) }} ）

• $O(n^2)$
• $O(n)$
• $O(n \log{n})$
• $O(n \sqrt{n})$

27. [3 分]当输入为 5 时，输出的第二行为（）。（ {{ select(27) }} ）

• 20
• 21
• 22
• 23

---

（3）

#include < vector >
#include < algorithm >
#include < iostream >

using namespace std;

bool f0(vector< int> &a, int m, int k) {
    int s = 0;
    for (int i = 0, j = 0; i < a.size(); i++) {
        while (a[i] - a[j] > m)
            j++;
        s += i - j;
    }
    return s >= k;
}

int f(vector< int> &a, int k) {
    sort(a.begin(), a.end());

    int g = 0;
    int h = a.back() - a[0];
    while (g < h) {
        int m = g + (h - g) / 2;
        if (f0(a, m, k)) {
            h = m;
        }
        else {
            g = m + 1;
        }
    }

    return g;
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector< int> a(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    cout << f(a, k) << endl;
    return 0;
}

假设输入总是合法的且 $1 \le a_i \le 10^8, n < 10000 , 1 \le k \le \frac{n*(n-1)}2$ ，完成下面的判断题和单选题:

判断题

28. [1.5 分]将第 24 行的 m 改为 m - 1，输出有可能不变，而剩下情况为少 1。（）（ {{ select(28) }} ）

• 正确
• 错误

29. [1.5 分]将第 22 行的 g + (h - g) / 2 改为 (h + g) >> 1，输出不变。（）（ {{ select(29) }} ）

• 正确
• 错误

30. [1.5 分]当输入为 5 7 2 -4 5 1 -3，输出为 5。（）（ {{ select(30) }} ）

• 正确
• 错误

单选题

31. [3 分]设 a 数组中最大值减最小值加 1 为 A，则 f 函数的时间复杂度为（）。（ {{ select(31) }} ）

• $O(n \log{A})$
• $O(n^2 \log{A})$
• $O(n \log{(nA)})$
• $O(n \log{n})$

32. [3 分]将第 10 行中的 > 替换为 >=，那么原输出与现输出的大小关系为（）。（ {{ select(32) }} ）

• 一定小于
• 一定小于等于且不一定小于
• 一定大于等于且不一定大于
• 以上三种情况都不对

33. [3 分]当输入为 5 8 2 -5 3 8 -12，输出为（）。（ {{ select(33) }} ）

• 13
• 14
• 8
• 15

---

三、完善程序（单选题，每小题3分，共计30分）

（1）（第 k 小路径）

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向无环图，定点编号从 $0$ 到 $n−1$ ，对于一条路径，我们定义“路径序列”为该路径从起点出发依次经过的顶点编号构成的序列。求所有至少包含一个点的简单路径中，“路径序列”字典序第 $k$ 小的路径。保证存在至少 $k$ 条路径。上述参数满足 $1 \le n,m \le 10 5,1 \le k \le 10^{18}$ 。 在程序中，我们求出从每个点出发的路径数量。超过 $10^{18}$ 的数都用 $10^{18}$ 表示。然后我们根据 $k$ 的值和每个顶点的路径数量，确定路径的起点，然后可以类似地依次求出路径中的每个点。 试补全程序。

#include < iostream >
#include < algorithm >
#include < vector >

const int MAXN = 100000;
const long long LIM = 1000000000000000000ll;

int n, m, deg[MAXN];
std::vector<int> E[MAXN];
long long k, f[MAXN];

int next(std::vector< int> cand, long long &k) {
    std::sort(cand.begin(), cand.end());
    for (int u : cand) {
        if (①) return u;
        k -= f[ u ];
    }
    return -1;
}

int main() {
    std::cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        std::cin >> u >> v; // 一条从u到v的边
        E[ u ].push_back(v);
        ++deg[ v ];
    }
    std::vector< int> Q;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (!deg[i]) Q.push_back(i);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int u = Q[i];
        for (int v : E[ u ]) {
            if (②)
                Q.push_back(v);
            --deg[ v ];
        }
    }
    std::reverse(Q.begin(), Q.end());
    for (int u : Q) {
        f[ u ] = 1;
        for (int v : E[ u ])
            f[ u ] = ③;
    }
    int u = next(Q, k);
    std::cout << u << std::endl;
    while (④) {
        ⑤;
        u = next(E[ u ], k);
        std::cout << u << std::endl;
    }
    return 0;
}

34. [3 分]①处应填（ ）（ {{ select(34) }} ）

• k >= f[ u ]
• k <= f[ u ]
• k > f[ u ]
• k < f[ u ]

35. [3 分]②处应填（ ）（ {{ select(35) }} ）

• deg[ v ] == 1
• deg[ v ] == 0
• deg[ v ] > 1
• deg[ v ] > 0

36. [3 分]③处应填（ ）（ {{ select(36) }} ）

• std::min(f[ u ] + f[ v ], LIM)
• std::min(f[ u ] + f[ v ] + 1, LIM)
• std::min(f[ u ] * f[ v ], LIM)
• std::min(f[ u ] * (f[ v ] + 1), LIM)

37. [3 分]④处应填（ ）（ {{ select(37) }} ）

• u != -1
• !E[ u ].empty()
• k > 0
• k > 1

38. [3 分]⑤处应填（ ）（ {{ select(38) }} ）

• K+=f[ u ]
• k-=f[ u ]
• --k
• ++k

---

(2) （最大值之和）

给定整数序列 $a_0,a_1, \dots ,a_{n-1}$ ，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足 $1 \le n \le 10^5$ 和 $1 \le a_i \le 10^8$ 。

一个序列的非空连续子序列可以用两个下标 $l$ 和 $r$（其中 $0 ≤ l ≤ r < n$）表示，对应的序列为 $a_l,a_{l+1}, \dots ,a_r$ 。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同。

例如，当原序列为 [1,2,1,2] 时，要计算子序列 [1]、[2]、[1]、[2]、[1,2]、[2,1]、[1,2]、[1,2,1]、[2,1,2]、[1,2,1,2] 的最大值之和，答案为 18。注意[1,1] 和 [2,2] 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算。

解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法，时间复杂度 $O(n \log{n})$。

#include < iostream >
#include < algorithm >
#include < vector >

const int MAXN = 100000;

int n;
int a[MAXN];
long long ans;

void solve(int l, int r) {
    if (l + 1 == r) {
        ans += a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    std::vector< int> pre(a + mid, a + r);
    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
    std::vector< long long> sum(r - mid + 1);
    for (int i = 0; i < r - mid; ++i)
        sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
    for (int i = mid - 1, j = mid, max = 0; i >= l; --i) {
        while (j < r && ②) ++j;
        max = std::max(max, a[i]);
        ans += ③;
        ans += ④;
    }
    solve(l, mid);
    solve(mid, r);
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        std::cin >> a[i];
    ⑤;
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}

39. [3 分]①处应填（ ）（ {{ select(39) }} ）

• pre[i] = std::max(pre[i - 1], a[i - 1])
• pre[i + 1] = std::max(pre[i],pre[i + 1])
• pre[i] = std::max(pre[i -1], a[i])
• pre[i] = std::max(pre[i], pre[i - 1])

40. [3 分]②处应填（ ）（ {{ select(40) }} ）

• a[j] < max
• a[j] < a[i]
• pre[j - mid] < max
• pre[j - mid] > max

41. [3 分]③处应填（ ）（ {{ select(41) }} ）

• (long long)(j - mid) * max
• (long long)(j - mid) * (i - 1) * max
• sum[j - mid]
• sum[j - mid] * (i - 1)

42. [3 分]④处应填（ ）（ {{ select(42) }} ）

• (long long)(r - j) * max
• (long long)(r - j) * (mid - i) * max
• sum[r - mid] - sum[j - mid]
• (sum[r - mid] - sum[j - mid]) * (mid - i)

43. [3 分]⑤处应填（ ）（ {{ select(43) }} ）

• solve(0，n)
• solve(0，n - 1)
• solve(1，n)
• solve(1，n - 1)