一、排列与组合基础（第1～6题）

【题1】 从7本不同的书中任选3本，并按顺序摆放在书架的同一层，共有 ______ 种不同的摆法。
【解答】 顺序重要，属于部分排列。$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$。
答案： 210

【题2】 某班级有10名学生，现要从中选出4人组成学习小组（不考虑组内顺序），共有 ______ 种选法。
【解答】 顺序无关，属于组合。$C(10,4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$。
答案： 210

【题3】 已知 $C(n, 2) = 15$，则正整数 $n$ 的值为 ______。
【解答】 由组合公式 $\frac{n(n-1)}{2} = 15$，得 $n^2 - n - 30 = 0$，解得 $n=6$（舍去负根）。
答案： 6

【题4】 用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，共有 ______ 个。
【解答】 从5个不同数字中选3个排列：$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$。
答案： 60

【题5】 集合 $A = \{a, b, c, d\}$ 的所有子集（包含空集和自身）共有 ______ 个。
【解答】 每个元素有“选”或“不选”2种状态，共 $2^4 = 16$ 个。也可用组合数求和 $\sum_{k=0}^4 C(4,k) = 16$。
答案： 16

【题6】 计算 $C(8, 3) + C(8, 4)$ 的值等于 ______。
【解答】 利用帕斯卡恒等式 $C(n, m) + C(n, m+1) = C(n+1, m+1)$，原式 $= C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$。
答案： 126

二、圆排列与重复问题（第7～12题）

【题7】 8名同学围成一圈做游戏，若只考虑相对位置（旋转后相同视为同一种），共有 ______ 种不同的围法。
【解答】 圆排列公式 $Q(n,n) = (n-1)!$，故 $Q(8,8) = 7! = 5040$。
答案： 5040

【题8】 从6颗颜色各不相同的珠子中选出4颗串成一个手环（仅考虑旋转等价，不考虑翻转），共有 ______ 种不同的串法。
【解答】 部分圆排列 $Q_6^4 = \frac{P_6^4}{4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4} = 90$。
答案： 90

【题9】 单词 BANANA 中的字母重新排列，能组成 ______ 个不同的单词。
【解答】 字母总数 $n=6$，其中 A 出现3次，N 出现2次，B 出现1次。重复排列数为 $\frac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = 60$。
答案： 60

【题10】 将4个相同的红球和3个相同的蓝球排成一行，共有 ______ 种不同的排法。
【解答】 重复排列（多重集全排）：$\frac{7!}{4! \times 3!} = 35$。
答案： 35

【题11】 用数字 1,1,2,2,3,3 这6个数字组成六位数，共有 ______ 个不同的六位数。
【解答】 1、2、3各出现2次。排列数为 $\frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{720}{8} = 90$。
答案： 90

【题12】 5对夫妇围坐在圆桌旁，若每对夫妇必须相邻而坐，共有 ______ 种不同的坐法。
【解答】 将每对夫妇看作一个整体，先排5个整体：$(5-1)! = 24$ 种。每对夫妇内部可互换位置：$2^5 = 32$ 种。总数为 $24 \times 32 = 768$。
答案： 768

三、特殊组合模型（第13～18题）

【题13】 一家甜品店有5种口味的蛋糕，每种口味供应充足。小明想买6块蛋糕（允许重复口味），共有 ______ 种不同的购买方案。
【解答】 重复组合（无限供应）：$C(n+k-1, k) = C(5+6-1, 6) = C(10,6) = 210$。
答案： 210

【题14】 方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 10$ 的非负整数解共有 ______ 组。
【解答】 等价于从3种物品中取10个的重复组合：$C(10+3-1, 10) = C(12,10) = C(12,2) = 66$。
答案： 66

【题15】 将8颗完全相同的糖果分给4个小朋友，要求每人至少分到1颗，共有 ______ 种分法。
【解答】 先每人给1颗，剩余4颗自由分配。转化为非负整数解或重复组合：$C(4+4-1, 4) = C(7,4) = 35$。
答案： 35

【题16】 从自然数 $1 \sim 10$ 中选出4个数，要求任意两个数都不相邻，共有 ______ 种选法。
【解答】 不相邻组合公式：$C(n-k+1, k) = C(10-4+1, 4) = C(7,4) = 35$。
答案： 35

【题17】 在一排10个连续的座位中，选择3个座位放置警示牌，要求任意两个警示牌不相邻，共有 ______ 种放法。
【解答】 同样适用不相邻组合：$C(10-3+1, 3) = C(8,3) = 56$。
答案： 56

【题18】 集合 $\{1, 2, \dots, 12\}$ 中，恰好包含5个元素且元素互不相邻的子集共有 ______ 个。
【解答】 $C(12-5+1, 5) = C(8,5) = C(8,3) = 56$。
答案： 56

四、递推数列应用：Stirling、错排与Catalan（第19～30题）

【题19】 第二类 Stirling 数 $S(5, 2)$ 的值为 ______。
【解答】 递推公式 $S(n,m) = mS(n-1,m) + S(n-1,m-1)$。
$S(5,2) = 2S(4,2) + S(4,1) = 2 \times 7 + 1 = 15$。
答案： 15

【题20】 将6名不同的学生分成3个非空小组（小组无编号/无序），共有 ______ 种分法。
【解答】 即求 $S(6,3)$。由教材提示及递推可得 $S(6,3) = 90$。
答案： 90

【题21】 利用公式 $S(n,3) = \frac{1}{2}(3^{n-1}+1) - 2^{n-1}$，计算 $S(6,3)$ 的值为 ______。
【解答】 代入 $n=6$：$\frac{1}{2}(3^5+1) - 2^5 = \frac{1}{2}(243+1) - 32 = 122 - 32 = 90$。
答案： 90

【题22】 错位排列数 $D_4$ 的值为 ______。
【解答】 错排递推 $D_n = (n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$。已知 $D_2=1, D_3=2$，则 $D_4 = 3 \times (2+1) = 9$。
答案： 9

【题23】 5封不同的信投入5个对应的信箱，每封信都投错了信箱，共有 ______ 种投法。
【解答】 典型错排问题，求 $D_5$。$D_5 = 4 \times (D_4+D_3) = 4 \times (9+2) = 44$。
答案： 44

【题24】 利用公式 $D_n = nD_{n-1} + (-1)^n$，计算 $D_6$ 的值为 ______。
【解答】 $D_6 = 6 \times D_5 + (-1)^6 = 6 \times 44 + 1 = 265$。
答案： 265

【题25】 7个人参加聚会，各自将帽子混放后随机取一顶，恰好没有人拿到自己帽子的情况有 ______ 种。
【解答】 求 $D_7$。$D_7 = 6 \times (D_6+D_5) = 6 \times (265+44) = 6 \times 309 = 1854$。
答案： 1854

【题26】 3对括号 () 能组成 ______ 种合法的括号序列。
【解答】 对应 Catalan 数 $H_3$。$H_3 = \frac{1}{3+1}C_{6}^{3} = \frac{1}{4} \times 20 = 5$。
答案： 5

【题27】 一个栈的进栈序列为 $1,2,3,4$，则可能的不同出栈序列共有 ______ 种。
【解答】 栈的合法出栈序列数对应 Catalan 数 $H_4$。$H_4 = \frac{1}{5}C_{8}^{4} = \frac{70}{5} = 14$。
答案： 14

【题28】 由5个不同的节点可以构造出 ______ 棵不同的二叉搜索树。
【解答】 对应 Catalan 数 $H_5$。$H_5 = \frac{1}{6}C_{10}^{5} = \frac{252}{6} = 42$。
答案： 42

【题29】 在圆周上取8个点，两两连线成4条弦，要求所有弦互不相交，共有 ______ 种连线方法。
【解答】 $2n=8 \Rightarrow n=4$，对应 $H_4 = 14$。
答案： 14

【题30】 用数字 $0,1,2,3,4$ 组成无重复数字的四位数，且该数能被5整除，共有 ______ 个。
【解答】 能被5整除的数个位必为0或5。题中无5，故个位固定为0。千位不能为0，从 $\{1,2,3,4\}$ 中选1个（4种），百位从剩余3个选1个（3种），十位从剩余2个选1个（2种）。总数：$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$。
答案： 24