加法原理与乘法原理 解答

1. 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？

答案：125

解析：

• 百位：5种选择（1,2,3,4,5）
• 十位：5种选择（1,2,3,4,5）
• 个位：5种选择（1,2,3,4,5）
• 根据乘法原理：5 × 5 × 5 = 125

2. 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各个位上数字不允许重复）？

答案：60

解析：

• 百位：5种选择
• 十位：4种选择（剩下4个数字）
• 个位：3种选择（剩下3个数字）
• 根据乘法原理：5 × 4 × 3 = 60

3. 由数字 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？

答案：15

解析：

• 十位可以是：1,2,3,4,5（不能是0）
• 十位为1：个位可以是0（1种）
• 十位为2：个位可以是0,1（2种）
• 十位为3：个位可以是0,1,2（3种）
• 十位为4：个位可以是0,1,2,3（4种）
• 十位为5：个位可以是0,1,2,3,4（5种）
• 根据加法原理：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

4. 地图涂色问题

答案：6

解析： 从图中可以看出相邻关系：

• A与B、C相邻
• B与A、D相邻
• C与A、D相邻
• D与B、C相邻

涂色方案：

• A：3种选择
• B：2种选择（不同于A）
• C：1种选择（不同于A，且必须与B不同，否则D无法涂色）
• D：1种选择（必须不同于B和C）

根据乘法原理：3 × 2 × 1 × 1 = 6

5. 某班有 22 名女生，23 名男生。选出男学生与女学生各一名去参加智力竞赛，有几种不同的选法？

答案：506

解析：

• 选女生：22种方法
• 选男生：23种方法
• 根据乘法原理：22 × 23 = 506

6. 105 有多少个约数？

答案：8

解析：

• 105 = 3¹ × 5¹ × 7¹
• 约数个数公式：(1+1)(1+1)(1+1) = 2 × 2 × 2 = 8
• 验证：1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105（共8个）

7. 从5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画中选不同画种的两幅画布置房间有几种选法？

答案：59

解析： 分类讨论（加法原理）：

• 国画+油画：5 × 2 = 10种
• 国画+水彩画：5 × 7 = 35种
• 油画+水彩画：2 × 7 = 14种
• 总计：10 + 35 + 14 = 59

8. 乘积 $(a_1+a_2+a_3) \times (b_1+b_2+b_3+b_4) \times (c_1+c_2+c_3+c_4+c_5)$ 展开共有多少个项？

答案：60

解析：

• 第一个括号：3项
• 第二个括号：4项
• 第三个括号：5项
• 展开时，每一项都是从三个括号中各选一项相乘
• 根据乘法原理：3 × 4 × 5 = 60