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#3637. 「2021 集训队互测」数列重排

标签: 传统 | 时间限制: 600 ms | 内存限制: 256 MiB |

题目描述

定义一个数列区间的 $\textrm{mex}$ 为区间中最小的没有出现过的自然数，定义一个数列的价值为其中 $\textrm{mex}\geq k$ 的区间数量。

​给定 $n$ 个小于 $m$ 的自然数和一个区间 $[l,r]$，令 $f(k)$ 表示 $n$ 个数构成的数列所有重排列中数列价值的最大值，对于每一个 $k\in [l,r]$，求出 $f(k)$。

​令 $a_i$ 表示数字 $i$ 出现的次数，保证存在正整数 $X$，使得 $\forall i<m,a_i\in \{X,X+1\}$。

输入格式

由于 $n$ 可能很大，将采取如下方式减少读入量：

第一行四个整数 $m,l,r,X$。

第二行一个长度为 $m$ 的 $01$ 串，若其中第 $i$ 个位置为 $1$ 则数字 $i-1$ 的出现次数为 $X+1$，否则出现次数为 $X$。

根据输入可以推出 $n=mX+S$，其中 $S$ 为 $01$ 串中 $1$ 的数量。

输出格式

为了减少输出量，令 $ans=\displaystyle{\bigoplus_{i=l}^r}$$(233^if(i)\bmod 998244353)$，其中 $\displaystyle\bigoplus$ 表示二进制下的按位异或，输出一行一个整数 $ans$。

样例 1

输入

2 0 1 2
10

输出

3034

在样例给出的数列中，有 $3$ 个 $0$ 和 $2$ 个 $1$，任意排列 $f(0)$ 均为 $15$，排列为 $\textrm{01010}$ 时 $f(1)$ 有最大值 $13$，答案为：

$$\displaystyle (233^0\times 15\bmod 998244353)\oplus(233^1\times 13\bmod 998244353)=3034$$

样例 2

输入

14 1 14 13
10110101110101

输出

379883349

数据范围与提示

• Subtask 1（5 points）：$n,m\leq 9$。
• Subtask 2（15 points）：$n,m\leq 200$。
• Subtask 3（15 points）：$n,m\leq 5\times 10^3$。
• Subtask 4（5 points）：$m\leq 2,l=0,r=1$。
• Subtask 5（10 points）：$m\leq 10^6,l=m,r=m$。
• Subtask 6（10 points）：$m\leq 10^6,X=1,s_i=0$。
• Subtask 7（15 points）：$m\leq 10^6,r-l+1\leq 10^4$。
• Subtask 8（15 points）：$m\leq 2\times 10^6$。
• Subtask 9（10 points）：无特殊限制。

​对于所有数据，满足 $n\leq 10^9,m\leq 10^7,0\leq l\leq r\leq m,X\geq 1$。