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#3769. 「USACO 2019 US Open Platinum」Compound Escape

标签: 传统 | 时间限制: 2000 ms | 内存限制: 256 MiB |

题目描述

题目来自 USACO 2019 US Open Contest, Platinum Problem 2. Compound Escape

Bessie 和她的朋友们被抓走并关在了远离农场的一个秘密房屋，现在该是 Bessie 站出来策划脱逃的时候了！这一房屋包含 $NK$ 个排列成 $N\times K$ 矩形方阵的囚室，水平和垂直方向相邻的囚室之间有门互通。每个囚室中有一头奶牛。

Bessie 黑进了系统，可以解锁任意一部分的门，但是每个门均有其代价。为了使奶牛们能够脱逃，Bessie 必须打开足够多的门使得所有的奶牛可以聚集在一个房间内（这样她们就能拥有足够的力量挖地洞通向外面！）。Bessie 想要使得总的解锁花费最小。

但是这次行动异常关键，Bessie 不能满足于仅仅一个脱逃方案：她还需要后备方案。帮助她计算最小代价脱逃方案的数量；如果某一扇门在一个方案中被解锁了而在另一个方案中没有，那么这两个方案就被认为是不同的。

由于这个数字可能非常大，只需输出该数对 $10^9+7$ 取模的余数。

输入格式

输入的第一行包含两个空格分隔的整数 $N$ 和 $K$（$2\le N\le 3\cdot 10^4,2\le K\le 6$）。

以下 $N$ 行每行包含 $K-1$ 个空格分隔的整数，为解锁一条水平边上的每扇门需要花费的代价。

以下 $K$ 行每行包含 $N-1$ 个空格分隔的整数，为解锁一条垂直边上的每扇门需要花费的代价。

所有的花费均在 $1$ 到 $10^9$ 之间。

输出格式

一个整数：最小花费的逃脱方案的数量，对 $10^9+7$ 取模。

样例

输入

4 3
1 1
5 6
7 8
1 1
1 1 1
2 3 4
1 1 1

输出

10

这个测试样例描述了一个 $4\times 3$ 的方阵。

     1     1
  +-----+-----+
  |     |     |
1 |     |2    | 1
  |  5  |  6  |
  +-----+-----+
  |     |     |
1 |     |3    | 1
  |  7  |  8  |
  +-----+-----+
  |     |     |
1 |     |4    | 1
  |     |     |
  +-----+-----+
     1    1

所有的最小代价脱逃方案都会使用代价为 $2$ 的门，代价为 $3$ 的门，以及某九个代价为 $1$ 的门。由于有十种方式选择不被使用的代价为 $1$ 的门，所以答案为 $10$。

数据范围与提示

对于 $20\%$ 的测试数据，保证 $N\le 500$，所有的代价均在 $1$ 到 $5$ 之间。

对于另外 $20\%$ 的测试数据，保证 $N\le 5\cdot 10^3$。