作者 shinzAnmono

序言

圆锥曲线题在高考占比不小，且计算量很大，如果可以熟记更多二级结论，会有效地减少做题时间。

本文中所有例题建议深度思考后再看解析。

圆锥曲线第二定义

事实上，任意圆锥曲线均有准线的定义。对于焦点在 $x$ 轴的椭圆和双曲线，其准线为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$。

定义圆锥曲线为到焦点 $F$ 和准线 $l$ 的距离的比为定值 $e$ 的点组成的图形。其中称 $e$ 为曲线的离心率。

使用这个方法可以快速地求解圆锥曲线的方程。

圆锥曲线硬解定理

联立是大部分圆锥曲线题的必要操作，联立后得到的韦达定理，判别式，弦长公式等都可以减少计算量。

对于曲线 $\Gamma: \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$ 和直线 $l:Ax+By+C=0$，若其交于 $E,F$ 两点。联立后的方程为：

$$\begin{aligned} &(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+m(C^2-B^2n)=0\\ &\Delta_x=4B^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\ &(A^2m+B^2n)y^2+2BCny+n(C^2-A^2m)=0\\ &\Delta_y=4A^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\ &|EF|=\frac{\sqrt{(A^2+B^2)\Delta_x}}{|B(A^2m+B^2n)|} \end{aligned} $$

::::warning[注意，解答题的过程应该这样写] 联立 $\displaystyle\left\{\begin{aligned}&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\\&Ax+By+C=0\end{aligned}\right.$ 得：

$$(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+m(C^2-B^2n)=0\\ \Delta=4B^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\ $$

由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{2ACm}{A^2m+B^2n},x_1x_2=\frac{m(C^2-B^n)}{A^2m+B^2n}$。$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，将 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 代入得 $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|A^2m+B^2n|}$。

$|EF|=\sqrt{1+\left(\frac{A}{B}\right)^2}|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{(A^2+B^2)\Delta}}{|B(A^2m+B^2n)|}$。 ::::

圆锥曲线参数方程

• 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程：$\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=a\cos\theta\\&y=b\sin \theta\end{aligned}\right.$
• 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程：$\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=a\sec\theta\\&y=b\tan\theta\end{aligned}\right.$
• 抛物线 $y^2=2px$ 的参数方程：$\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=2pt^2\\&y=2pt\end{aligned}\right.$

通过参数方程，我们可以更快地进行设点等操作。

圆锥曲线第三定义

平面内动点 $P$ 与定点 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$ 所成的直线的斜率乘积为 $e^2-1$ 的轨迹即为椭圆，圆或双曲线。其中 $e$ 为圆锥曲线的离心率。设 $K=k_{PA_1}k_{PA_2}$，则 $K=-1$ 时为圆，$K\in (-1,0)$ 时为椭圆，$K\in (0,+\infty)$ 时为双曲线。

中点弦相关

椭圆

设焦点在 $x$ 轴上的椭圆的弦 $AB$ 的中点为 $C$，若 $k_{AB},k_{OC}$ 存在，则 $k_{AB}k_{OC}=-\frac{b^2}{a^2}$。

双曲线

设焦点在 $x$ 轴上的双曲线的弦 $AB$ 的中点为 $C$，若 $k_{AB},k_{OC}$ 存在，则 $k_{AB}k_{OC}=\frac{b^2}{a^2}$。

抛物线

设弦 $AB$ 的中点为 $C(x_0,y_0)$，若 $k_{AB}$ 存在，则 $y_0k_{AB}=p$

焦半径和焦点弦相关

焦半径公式坐标式

设 $A(x_0,y_0)$ 是左右焦点分别为 $F$ 的圆锥曲线的上任意一点，则 $|AF|=|a\pm ex_0|$，其中中间的正负号要根据焦半径的长度来选择。具体地，有：

• 对于左右焦点分别为 $F_1,F_2$ 的椭圆，$|AF_1|=a+ex_0, |AF_2|=a-ex_0$。
• 对于左右焦点分别为 $F_1,F_2$ 的双曲线，若 $A$ 在双曲线的左支上，则 $|AF_1|=-a-ex_0，|AF_2|=a-ex_0$；若 $A$ 在双曲线的右支上，则 $|AF_1|=a+ex_0,|AF_2|=-a+ex_0$。

焦半径公式倾斜角式

设 $p$ 为圆锥曲线的焦准距（对于椭圆和双曲线，其为 $\frac{b^2}{c}$），设 $A$ 是（左）焦点为 $F$ 圆锥曲线（同支）的上任意一点，设 $\overrightarrow{AF}$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$，则 $|AF|=\frac{ep}{1\pm e\cos\theta}$，其中中间的正负号要根据焦半径的长度来选择。

由此公式推知下列公式。

椭圆

设过椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 左焦点的直线 $l$ 与 $\Gamma$ 交于 $A,B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的上方），$l$ 的倾斜角为 $\theta$，则：

• $|AF|=\frac{b^2}{a-c\cos \theta}, |BF|=\frac{b^2}{a+c\cos\theta},|AB|=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta}$。
• $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2a}{b^2}$
• 设 $\lambda=\frac{|AF|}{|BF|}$，则 $e\cos \theta=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}$

抛物线

设过抛物线 $\Gamma: y^2=2px (p>0)$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A,B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的上方），直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$，设 $A,B$ 在准线上的投影为 $A',B'$，则：

• $|AF|=\frac{p}{1-\cos \theta},|BF|=\frac{p}{1+\cos \theta},|AB|=\frac{2p}{1-\cos^2\theta}=\frac{2p}{\sin^2\theta}$
• $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$
• 设 $\lambda=\frac{|AF|}{|BF|}$，则 $\cos \theta=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}$
• $S_{\triangle OAB}=\frac{p^2}{2\sin\theta}$
• 以 $AF,BF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切。以 $AB$ 为直径的圆与准线相切。以 $A'B'$ 为直径的圆与直线 $AB$ 相切，切点为 $F$
• $A',O,B$ 三点共线，$B',O,A$ 三点共线
• $S_{AA'B'B}=\frac{2p^2}{\sin^3\theta}$
• 设 $M$ 为线段 $A'B'$ 中点，则直线 $AM,BM$ 为抛物线切线，且 $AM$ 平分 $\angle A'AB$，$BM$ 平分 $\angle B'BA$
• 直线 $AM,FA'$ 与 $y$ 轴三线共点

焦点三角形相关

椭圆

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点为 $F_1,F_2$，对于椭圆上异于长轴端点的点 $P$，设 $\angle F_1PF_2=\theta$，其余两角分别为 $\alpha,\beta$，有如下结论：

• $S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}$
• $e=\frac{\sin \theta}{\sin\alpha+\sin \beta}=\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}$
• $\triangle F_1PF_2$ 的内接圆圆心的轨迹为椭圆 $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{c^2\frac{1-e}{e+1}}=1$。

双曲线

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点为 $F_1,F_2$，对于椭圆上异于长轴端点的点 $P$，设 $\angle F_1PF_2=\theta$，其余两角分别为 $\alpha,\beta$，有如下结论：

• $S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\cot\frac{\theta}{2}$
• $e=\frac{\sin \theta}{|\sin\alpha-\sin \beta|}=\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\left|\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right|}$
• $\triangle F_1PF_2$ 的内接圆圆心的轨迹为两条直线，若 $P$ 在双曲线右支，则轨迹为直线 $x=a$，若 $P$ 在双曲线左支，则轨迹为直线 $x=-a$。

已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的左右焦点，过 $F_2$ 的直线与双曲线的右支交于 $A,B$两点，记 $\triangle AF_1F_2$ 的内切圆 $O_1$ 的面积为 $S_1$，$\triangle BF_1F_2$ 的内切圆 $O_2$ 的面积为 $S_2$，求 $S_1+S_2$ 的取值范围。

::::success[解法] $O_1(1,y_1),O_2(1,y_2)(y_1>y_2)$，直线的方程为 $x-ky-2=0$，显然 $O_1,O_2$ 在直线左侧，则 $y_1=\frac{ky_1-1}{\sqrt{k^2+1}},y_2=\frac{ky_2-1}{\sqrt{k^2+1}}$，其均满足 $y^2=\frac{(ky-1)^2}{k^2+1}$，即其为方程 $y_2+2ky-1$ 的两根，$y_1+y_2=-2k,y_1y_2=-1$，$y_1^2+y_2^2=4k^2+2$，$k\in \left(-\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt3}{3}\right)$，而 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 半径为 $y_1,y_2$，即 $S_1+S_2=\pi(y_1^2+y_2^2)$，其取值范围为 $\left[2\pi,\frac{10}{3}\pi\right)$。 ::::

仿射结论

仿射变换有如下重要结论：

• 直线间的位置关系不会改变，即平行直线仍然平行，相交直线仍然相交（注意，垂直关系会被破坏）
• 各个线段的长度比，各个图形的面积比均不变。

不妨让椭圆通过仿射变为单位圆。这样会有效地简化问题。

::::warning 部分地区使用仿射方法可能会扣分，请了解所在地区相关政策后再在解答题中使用。 ::::

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上一点，$M$ 为线段 $OA$ 上的动点，过点 $M$ 作直线交椭圆于 $P,Q$ 两点，若 $\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MQ}$，求四边形 $OPAQ$ 面积 $S$ 的最大值。

::::success[正常解法] 设 $P(2\cos\alpha,\sin\alpha),Q(2\cos\beta,\sin\beta)$，因为 $\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MQ}$，$x_M=\frac{2\cos \alpha+4\cos\beta}3,y_M=\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}3$，设 $\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OM}$，将 $A$ 点坐标代入椭圆方程得 $\cos(\alpha-\beta)=\frac{9}{4\lambda^2}-\frac45$。$S=\lambda S_{\triangle POQ}=\lambda|\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta|=\lambda\sin(\alpha-\beta)=\sqrt{-\left(\frac{9\lambda^2}{16}+\frac{81}{16\lambda^2}\right)+\frac{45}8}\leq \frac32$，当且仅当 $\lambda=\sqrt3$ 时等号成立。 :::: ::::success[仿射] 设 $y'=2y$，则 $x^2+y'^2=4$，在平面直角坐标系 $xOy'$ 中，其为圆心在原点，半径 $R=2$ 的圆. 不妨取 $A'(0,2)$，由仿射变换结论得四边形 $OP'A'Q'$ 的面积 $S'=2S=\frac12R|x_{P'}-x_{Q'}|$，而 $x_{Q'}=-\frac12x_{P'}$，$x_{P'}\in [-R,R]$，取 $x_{P'}=R$ 时 $S'$ 取最大值 $3$，即 $S$ 的最大值为 $\frac32$。 ::::

定比点差法

定比点差法可以解决一类圆锥曲线中定比弦问题。

::::info[前置知识：定比分点定理] 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$，则 $P\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)$。 ::::

对于圆锥曲线 $\Gamma:\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$ 来说（注意这个形式包括了椭圆和双曲线），若 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是 $\Gamma$ 上两点，且 $P(x_0,y_0)$ 满足$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$。则由定比分点定理可知 $x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}$。而 $A,B$ 在 $\Gamma$ 上，可以得到：

$$\begin{aligned} &\frac{x_1^2}{m}+\frac{y_1^2}{n}=1\\ &\frac{\lambda^2x_2^2}{m}+\frac{\lambda^2y_2^2}{n}=\lambda^2 \end{aligned} $$

将两式作差可得 $\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{m}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{n}=1-\lambda^2$。结合 $x_0$ 和 $y_0$ 可以得到更多结论。

事实上，中点弦定理就是点差法在 $\lambda=1$ 时的特殊情况。

已知椭圆 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 的上顶点为点 $D$，右焦点为点 $F$，过点 $P(4,2)$ 作直线交椭圆于点 $A,B$（点 $A$ 在点 $P$ 和点 $B$ 之间），交直线 $DF$ 于点 $Q$，点 $A,B,Q$ 互不相同。若 $\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PB},\overrightarrow{QA}=\mu\overrightarrow{BQ}$，求 $\lambda-\mu$。

::::success[解法] $\frac{x_1^2}{8}+\frac{y_1^2}{4}=1$，$\frac{\lambda^2x_2^2}{8}+\frac{\lambda^2y_2^2}{4}=\lambda^2$，两式相减得 $\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{8}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{4}=1-\lambda^2$。注意到 $Q(\frac{x_1+\mu x_2}{1+\mu},\frac{y_1+\mu y_2}{1+\mu})$ 在直线 $x+y-2=0$ 上，$\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=4,\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=2$。以上各式联立可得 $(\lambda-\mu)(x_2+y_2-2)=0$，由于 $B,Q$ 不相同，则 $x_2+y_2-2\neq 0$，则 $\lambda-\mu=0$。 ::::

非对称韦达

韦达定理可以处理 $x_1+x_2$，$x_1x_2$，$|x_1-x_2|$ 形如这样的 $x_1,x_2$ 地位对等的式子，但是如果类似 $\frac{x_1}{x_2}$，$kx_1+x_2$ 这样子的式子，我们很不方便直接使用韦达定理，所以可以通过韦达定理进行代换，或使用其他方式凑出韦达式，我们称这种做法为非对称韦达。对于比较常见的 $\frac{ax_1x_2+b(x_1+x_2)+kx_1}{ax_1x_2+b(x_1+x_2)+mx_1}$ 形式的式子，通常将上下只保留 $x_1$ 或 $x_2$ 的其中一个，其他项通过配凑变成对称形式韦达并在带入后化简，一般来说可以得到定值。

蝴蝶定理

对于二次曲线上弦 $PQ$ 的中点 $M$，从 $M$ 引出两条弦 $AB$，$CD$，设过 $A,B,C,D$ 四点的二次曲线交 $PQ$ 与点 $I,J$，则 $M$ 是线段 $IJ$ 的中点。

蝴蝶定理一般用于解决圆锥曲线中的斜率比问题。

后记

本文持续更新，欢迎私信笔者提供有意义的二级结论。